Pi is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn. Die verhouding is altijd hetzelfde, ongeacht hoe groot of klein de cirkel is. De waarde begint met 3,14159265358979… en gaat eeuwig door zonder patroon of herhaling.
Pi wordt geschreven met het Griekse symbool π (uitgesproken als “pie”). Het is een van de bekendste getallen in de wiskunde, en tegelijk een van de meest raadselachtige. Wetenschappers berekenen de decimalen al eeuwen, en in december 2025 bereikte het record de grens van 314 biljoen (3,14 × 1014) cijfers achter de komma.
Wat is de exacte definitie van pi?
Pi is de verhouding van de omtrek (U) van een cirkel tot zijn middellijn (d). In formulevorm: π = U / d. Deze verhouding geldt voor elke perfecte cirkel op een plat vlak. Meet je de omtrek van een cirkel met middellijn 10 cm, dan is die omtrek altijd 10 × 3,14159… = 31,4159… cm, nooit meer, nooit minder.
Pi is een irrationeel getal. Dat betekent dat het niet precies als een breuk van twee gehele getallen te schrijven is. Je kunt 22/7 gebruiken als benadering (≈ 3,1428…), maar dat is niet exact. Pi is ook een transcendentaal getal, wat betekent dat het niet de oplossing is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten. Dat bewees de wiskundige Ferdinand von Lindemann in 1882. Die eigenschap heeft grote gevolgen: het is daarmee wiskundig bewezen onmogelijk om een cirkel exact om te zetten in een vierkant met dezelfde oppervlakte (het klassieke probleem van de “kwadratuur van de cirkel”).
De decimalen van pi volgen geen enkel patroon en herhalen zich nooit. De eerste tien decimalen zijn: 3,1415926535. Daarna volgen willekeurig aandoende cijfers die geen structuur vertonen. Wiskundigen vermijden het woord “willekeurig” strikt: pi is volledig bepaald, alleen is het patroon onbekend.
In de wetenschappelijke praktijk hoef je zelden meer dan 15 decimalen te gebruiken. NASA gebruikt voor ruimtevaartberekeningen slechts 15 decimalen (3,141592653589793). Voor de meeste ingenieursberekeningen volstaan 3,14 of 3,1416.
Hoe is pi door de geschiedenis heen berekend?
De vroegste benaderingen van pi dateren uit zo’n 4000 jaar geleden. Babyloniërs gebruikten de waarde 3 of 25/8 (= 3,125). De oude Egyptenaren hadden een waarde van (16/9)2 ≈ 3,1605, terug te vinden in het Rhind-papyrus uit ongeveer 1650 voor Christus.
De Griekse wiskundige Archimedes van Syracuse (287-212 v.Chr.) was de eerste die pi systematisch benaderde via inscribed en omgeschreven veelhoeken bij een cirkel. Door een veelhoek met 96 zijden te gebruiken, bewees hij dat pi ligt tussen 223/71 en 22/7, dat wil zeggen tussen 3,1408… en 3,1428…. Zijn methode was zo vernuftig dat wiskundigen er eeuwenlang op voortbouwden.
In de 17e eeuw ontdekte de Schotse wiskundige James Gregory een oneindige reeks die convergeert naar pi/4: 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + … Deze reeks convergeert echter te langzaam voor praktisch gebruik. Snellere formules volgden. In 1706 berekende John Machin pi tot 100 decimalen met zijn formule: π/4 = 4·arctan(1/5) – arctan(1/239).
Met computers schoot de berekening omhoog. In 1949 berekende de ENIAC de eerste 2037 decimalen in 70 uur. In 2022 bereikte Emma Haruka Iwao bij Google Cloud een record van 100 biljoen decimalen. In mei 2025 doorbraken Kioxia en WEKA de grens van 300 biljoen, en in december 2025 stelde StorageReview het huidige record van 314 biljoen decimalen. Zo’n berekening duurt weken en vereist enorme opslagcapaciteit voor de tussenresultaten.
| Jaar | Persoon/organisatie | Aantal decimalen | Methode |
|---|---|---|---|
| ~250 v.Chr. | Archimedes | ~3 decimalen | Veelhoeken |
| 1706 | John Machin | 100 decimalen | Arctan-formule |
| 1949 | ENIAC-computer | 2.037 decimalen | Machin-variant |
| 2002 | Yasumasa Kanada | 1,24 biljoen | FFT-algoritme |
| 2022 | Emma Iwao (Google) | 100 biljoen | y-cruncher + cloud |
| 2025 (mei) | Kioxia & WEKA | 300 biljoen | y-cruncher + SSD-opslag |
| 2025 (dec) | StorageReview | 314 biljoen | y-cruncher |
Welke formules gebruiken pi in de wiskunde?
Pi duikt op in tientallen wiskundige formules, ook op plekken waar je een cirkel niet direct verwacht. Hieronder de bekendste.
Omtrek en oppervlakte van een cirkel: U = 2πr (met r = straal) en A = πr². Dit zijn de formules die vrijwel iedereen kent uit de middelbare school. Ze gelden voor een perfecte cirkel op een plat vlak.
Volume van een bol en cilinder: Een bol met straal r heeft volume V = (4/3)πr³. Een cilinder met straal r en hoogte h heeft volume V = πr²h. Ook een kegel gebruikt pi: V = (1/3)πr²h.
De formule van Euler: eiπ + 1 = 0. Dit wordt door wiskundigen de mooiste formule in de wiskunde genoemd. Ze verbindt de vijf belangrijkste constanten (e, i, π, 1 en 0) in één compacte uitdrukking. Euler leidde haar af in de 18e eeuw via complexe analyse.
De normaalverdeling (klokcurve): De formule voor de standaard normaalverdeling bevat pi in de noemer: f(x) = (1/√(2π)) · e-x²/2. Statistici gebruiken de normaalverdeling dagelijks voor het modelleren van meetgegevens, testscores, biologische metingen en economische grootheden.
Fourieranalyse: Signalen in elektronica en geluidstechnologie worden ontleed in sinusgolven. De periode van een sinus is 2π. Fouriertransformaties, die de basis vormen van jpg-compressie, MP3-bestanden en telefoonnetwerken, zitten vol met pi.
- Omtrek cirkel: U = 2πr
- Oppervlakte cirkel: A = πr²
- Volume bol: V = (4/3)πr³
- Volume cilinder: V = πr²h
- Formule van Euler: eiπ + 1 = 0
- Normaalverdeling: bevat √(2π) in de noemer
- Fourieranalyse: perioden zijn veelvouden van 2π
- Heisenbergs onzekerheidsrelatie: ΔxΔp ≥ h/(4π)
Waarom is pi zo belangrijk voor wetenschap en techniek?
Pi is niet alleen een abstracte wiskundige curiositeit. Het getal zit verborgen in vrijwel elke tak van wetenschap en techniek die met golven, cirkels, sferen of trillingen te maken heeft.
Elektrotechniek en elektronica: Wisselstroom heeft een sinusvormig profiel. De frequentie van een elektrisch signaal wordt uitgedrukt in radialen per seconde: ω = 2πf. Een stroom van 50 Hz (de standaard in Nederland) heeft een hoekfrequentie van 2π × 50 ≈ 314 radialen per seconde. Elke condensator, spoel en transistorschakeling werkt met deze relaties.
Bouwkunde en constructie: Bruggen, tunnels, bogen en koepels zijn gebaseerd op cirkelvormige geometrie. Bij het ontwerpen van een ronde kolom, een koepeldak of een cilindrische opslagtank gaat het mis zonder pi. De Pantheon in Rome (opgebouwd rond 125 na Christus) heeft een koepel met een doorsnede van precies 43,3 meter en een binnenhoogte van 43,3 meter. Architecten gebruikten empirische benaderingen van pi, maar de geometrie klopt nog steeds.
Astronomie en ruimtevaart: Planetaire banen, omlooptijden en de berekening van vliegroutes voor ruimtevaartuigen hangen af van pi. NASA’s Jet Propulsion Laboratory gebruikt 15 decimalen van pi voor de navigatie van Voyager 1, nu op meer dan 24 miljard km van de zon. Meer decimalen zijn overbodig: het verschil tussen pi met 15 en met 40 decimalen is kleiner dan het formaat van een atoom op een afstand van een paar kilometer.
Medische beeldvorming: MRI-scans en CT-scanners werken op basis van Fouriertransformaties. Die zetten signalen uit de scanner om in beelddata. Pi zit in elke stap van die omzetting. Zonder nauwkeurige pi-berekeningen zou medische beeldvorming aanmerkelijk minder precies zijn.
Statistiek en kansrekening: De normaalverdeling, het meest gebruikte statistisch model, bevat pi. Elk wetenschappelijk onderzoek dat met standaarddeviaties, betrouwbaarheidsintervallen of p-waarden werkt, steunt impliciet op pi. Meer over de methodiek lees je in het artikel over de stappen van wetenschappelijk onderzoek.
Hoe kun je pi zelf benaderen?
Je hoeft geen supercomputer te hebben om pi te benaderen. Er zijn verschillende toegankelijke methoden, van visueel tot rekenkundig.
Methode 1: meten aan een echte cirkel. Pak een ronde voorwerp (blik, glas, pan). Meet de omtrek met een meetlint en de middellijn met een liniaal. Deel de omtrek door de middellijn. Je komt altijd uit rond 3,14, afhankelijk van hoe nauwkeurig je meet. Dit is de meest directe illustratie van wat pi betekent.
Methode 2: de Leibniz-reeks. De formule π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … convergeert naar pi, maar heel langzaam. Na 1000 termen heb je nog maar 3 decimalen correct. Ze is mooi om te begrijpen, maar onpraktisch voor berekeningen.
Methode 3: Monte Carlo-simulatie. Teken een vierkant van 2 × 2 met daarin een cirkel met straal 1. Gooi willekeurig punten in het vierkant. De verhouding van punten binnen de cirkel tot het totale aantal punten benadert π/4. Gooi je 10.000 punten, dan kom je uit op iets als 3,14. Dit is een fraaie toepassing van kansrekening.
Methode 4: de reeks van Ramanujan. De Indische wiskundige Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ontdekte reeksen die razendsnel naar pi convergeren. Zijn bekendste formule convergeert met elke extra term ongeveer 8 extra decimalen. Moderne algoritmen zijn op dit principe gebouwd. De vraag hoe bepaalde natuurverschijnselen wiskundig worden beschreven, raakt aan dezelfde wiskundige grondslagen.
Methode 5: Machin-achtige formules. Formules van de vorm π/4 = a·arctan(1/b) – c·arctan(1/d) convergeren veel sneller dan de Leibniz-reeks. Het eerder genoemde record van 314 biljoen decimalen is berekend met de Chudnovsky-formule, een variant op dit principe.
Wat maakt pi bijzonder vergeleken met andere wiskundige constanten?
De wiskunde kent meer beroemde constanten. Pi is de bekendste, maar niet de enige. Een vergelijking maakt de bijzonderheid van pi duidelijk.
De constante e (getal van Euler, ≈ 2,71828…) is de basis van de natuurlijke logaritme en speelt de hoofdrol in groeiproblemen, samengestelde rente en differentiaalvergelijkingen. Net als pi is e irrationaal en transcendentaal.
De gulden snede φ (phi, ≈ 1,61803…) duikt op in geometrie, kunst en de fibonacci-reeks. Anders dan pi is phi algebraïsch (het voldoet aan x² = x + 1), maar het is wel irrationaal.
Pi is uniek doordat het zowel in de meest elementaire geometrie (omtrek cirkel) als in de meest abstracte analyse (Euler-formule, complexe getallen, Fourierreeksen) een centrale rol speelt. Het verbindt geometrie, algebra en analyse op een manier die geen andere constante evenaaart.
Een ander bijzonder aspect: pi duikt ook op in de natuur, op plekken die niets met cirkels te maken lijken te hebben. De formule van de Duitse wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss voor de verdeling van priemgetallen bevat pi via de logaritmische integraal. De kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen geen gemeenschappelijke deler hebben, is 6/π². En de som 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (1/n² voor alle n) is precies gelijk aan π²/6, een resultaat dat Euler in 1735 bewees en dat als het Bazelprobleem de boeken ingegaan is.
Voor wie meer wil begrijpen over beroemde wiskundige en culturele symbolen: het artikel over de Venus van Milo of over hiërogliefen laat zien hoe symbolen door de tijd heen betekenis dragen. Pi doet hetzelfde in de wereld van de wiskunde.
Hoe wordt pi gebruikt in het dagelijks leven?
Je gebruikt pi vaker dan je denkt, ook als je er zelf niet bij stilstaat.
Bouwen en verbouwen: Wil je weten hoeveel verf een ronde zuil kost, of hoeveel grond er in een ronde plantenbak gaat? Dan gebruik je πr². Koop je een ronde pizzasteen of een circulaire vijver voor de tuin, dan berekent de winkel de oppervlakte met pi. De neerslag per m² die een ronde vijver opvangt, berekent de tuinman ook met πr².
Voedsel en recepten: Pizzabakkers weten dat een pizza met diameter 30 cm een oppervlakte heeft van π × 15² ≈ 707 cm². Een pizza met diameter 40 cm heeft al 1.257 cm², bijna het dubbele. Het lijkt logisch dat een grotere pizza meer opbrengt, maar het verschil is groter dan de meeste mensen denken: de oppervlakte schaalt kwadratisch met de straal.
Motoren en rotatie: Het motorvermogen van een auto, de snelheid van een wielmolen en de toerental van een turbine worden uitgedrukt in omwentelingen per minuut (rpm). De omtreksnelheid v = 2πr × rpm/60. Een autoband met diameter 65 cm draait bij 100 km/u ongeveer 856 keer per minuut.
Navigatie en GPS: GPS-satellieten sturen signalen waaruit ontvangers op aarde hun positie berekenen. Die berekeningen gebruiken bolvormige geometrie: de aarde is een bol, en bolvormige coördinatenformules bevatten pi. De formule van Haversine, waarmee de afstand langs een bolvormig oppervlak wordt berekend, bevat sinussen, cosinus en dus pi. Zonder pi zou de GPS in je telefoon systematisch fouten maken van meters tot kilometers.
Muziek en geluid: Een luidspreker beweegt sinusvormig. De frequentie van een A-toon (440 Hz) heeft een hoekfrequentie van 2π × 440 ≈ 2.765 radialen per seconde. Geluidstechnici die equalizers, filters en ruisonderdrukking instellen, werken met Fouriertransformaties die vol staan met pi.
Veelgestelde vragen
Hoeveel decimalen van pi zijn er tot nu toe bekend?
In december 2025 bereikte het wereldrecord 314 biljoen decimalen (3,14 × 1014). Dat record werd gevestigd door StorageReview met de y-cruncher-software. Eerder in 2025 bereikten Kioxia en WEKA al 300 biljoen. Voor praktische toepassingen is 15 decimalen meer dan voldoende. De recordpogingen zijn vooral bedoeld als test voor hardware en algoritmen, niet voor wetenschappelijk nut.
Is pi echt oneindig, of stopt het ergens?
Pi stopt niet. Het heeft oneindig veel decimalen zonder herhaling of patroon. Dat is wiskundig bewezen: pi is irrationaal, en irrationale getallen hebben per definitie een oneindige, niet-herhalende decimale expansie. Er bestaat geen “laatste decimaal” van pi. Elke berekening van een record is slechts een tijdelijke stop in een oneindige rij.
Waarom heet de dag van pi 14 maart?
Pi Day valt op 14 maart omdat in de Amerikaanse datumnotatie 3/14 staat voor 3,14, de meest bekende afronding van pi. De Amerikaan Larry Shaw organiseerde op 14 maart 1988 de eerste Pi Day bij het Exploratorium in San Francisco. In 2009 erkende het Amerikaanse Congres 14 maart officieel als Pi Day. Wiskundige Albert Einstein werd toevallig geboren op 14 maart 1879, wat de dag extra kleur geeft.
Wat is het verschil tussen pi en tau?
Tau (τ) is gelijk aan 2π, dus ongeveer 6,28318. Een kleine groep wiskundigen betoogt dat tau een handiger constante is dan pi, omdat een volledige omwenteling in radialen 2π (= τ) is, niet π. Formules voor de omtrek van een cirkel worden dan U = τr in plaats van U = 2πr, wat eenvoudiger oogt. De meeste leerboeken en wetenschappers gebruiken echter pi, en tau heeft geen officiële status in de wiskunde.
Kan pi ooit exact worden berekend?
Nee. Pi is transcendentaal en irrationaal, en kan daardoor nooit exact als eindige decimaal of als breuk worden opgeschreven. Elk getal dat je opschrijft is een benadering. Dit is bewezen door Ferdinand von Lindemann in 1882. Die onmogelijkheid geldt ook voor meetkundige constructies: je kunt een cirkel nooit met passer en liniaal omzetten naar een vierkant met dezelfde oppervlakte, precies omdat pi niet algebraïsch is.
Komt pi voor buiten de wiskunde, bijvoorbeeld in de natuur?
Pi duikt op in de natuur op manieren die niets met cirkels te maken hebben. De meanders van rivieren hebben een gemiddelde slingeringcoëfficiënt (de verhouding van werkelijke rivierlengte tot rechte afstand tussen begin en eind) van ongeveer pi, zoals de Britse hydroloog Hans-Henrik Stølum in 1996 observeerde. De halfwaardetijd van radioactief verval, de verdeling van priemgetallen en de statistiek van kwantumdeeltjes bevatten allemaal pi in hun formules. Pi is, met andere woorden, een fundamentele constante van het universum, niet alleen van de wiskunde.
